Родился в семье крестьянина.
Окончил 7 классов.
Работал в колхозе.
В Красной Армии с августа 1941.
На фронтах Великой Отечественной войны с января 1942. Командир армейской разведывательной группы (60-я армия, 1-й Украинский фронт). Сержант Б.С.Паршенков с подчиненными в марте апреле 1944 неоднократно проникал в тыл врага, добывал ценные сведения. 25 апреля — 5 мая 1944, находясь во вражеском тылу, установил систему обороны противника по реке Золотая Липа (западнее г. Тернополь, Украина), направление движения танков и автомашин с грузами, своевременно сообщил об этом в штаб армии.
21 мая 1944 награждён орденом Славы 3-й степени.
20 мая - 4 июня 1944 и 26 июня - 6 июля 1944, действуя с разведывательной группой в тылу противника, установил районы сосредоточения танков неприятеля, гарнизоны, ложный аэродром, склады, контролировал движение по железной дороге Львов - Золочев (Львовская область, Украина), Золочев - Бережаны (Тернопольской области).
5 августа 1944 награжден орденом Славы 2-й степени.
Командир отделения разведки 920-го отдельного корпусного саперного батальона (60-я армия, 4-й Украинский фронт с 6.4.1945) Б. Паршенков с подчиненными 15 января - 15 февраля 1945 изучил маршрут в направлении г. Краков и Катовице (Польша), выявил 12 мостов, 4 водные преграды. В ночь на 22 марта 1945 произвёл разведку в районе г. Опава (Чехия). 24 марта 1945 разминировал 2 моста. 13 апреля 1945 обнаружил скопление войск противника в том же районе.
29 июня 1945 награждён орденом Славы 1-й степени.
В 1947 демобилизован.
Жил и работал в г. Райчихинск Амурской области.
Умер 23 июля 1977.
Награждён орденами Красного Знамени, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, медалями.