Родился в семье крестьянина.
Образование начальное.
Работал в Вознесенском леспромхозе Черемховского района.
В Красной Армии с 1939.
Участник Великой Отечественной войны с февраля 1942. Сражался на 2-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. Принимал участие в освобождении Прибалтики, в боях на территории Восточной Пруссии. Наводчик 45-миллиметрового орудия 1336-го стрелкового полка (319-я стрелковая дивизия, 43-я армия, 2-й Прибалтийский фронт) младший сержант Алексей Бельков 10 августа 1944 вместе с расчётом переправил орудие на левый берег реки Айвиексте (Латвия) и прямой наводкой отразил семь контратак противника.
За мужество и отвагу, проявленные в боях, младший сержант Бельков Алексей Харитонович 17 сентября 1944 награждён орденом Славы 3-й ст. (№ 147950).
24 января 1945 в бою за город Лабиау (ныне город Полесск Калининградской области) командир орудийного расчёта сержант Алексей Бельков (3-й Белорусский фронт) вместе с бойцами подбил танк и истребил свыше десяти вражеских солдат и офицеровЗа мужество и отвагу, проявленные в боях, сержант Бельков Алексей Харитонович 27 февраля 1945 награждён орденом Славы 2-й ст.
Командир орудийного расчёта 1336-го стрелкового полка (319-я стрелковая дивизия, 43-я армия, 3-й Белорусский фронт) сержант Алексей Бельков 8 апреля 1945 при штурме форта Маринберг (район города Кёнигсберг, ныне город Калининград) под сильным артиллерийско-миномётным и пулемётным огнем противника выкатил орудие на открытую огневую позицию. Прямой наводкой расчет поразил три пулемётные точки, чем обеспечил нашей пехоте успех при штурме форта.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 г. за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками сержант Бельков Алексей Харитонович награждён орденом Славы 1-й ст. (№ 338), став полным кавалером ордена Славы.
В 1946 А.Х. Бельков демобилизован.
Жил в селе Тальники Черемховского района Иркутской области.
Умер на родине.
Имя полного кавалера ордена Славы А.Х. Белькова носит школа в селе Тальники.
Награжден орденом Отечественной войны 1-й ст., орденами Славы 1,2 и 3-й ст., медалями.