Родился в городе Свердловске (Екатеринбурге) в семье рабочего.
Учился в школах № 3 и № 11 Свердловска. Окончил 6 классов.
Работал на заводе имени Воеводина, монтёром на городской телефонной станции и связистом 1-й городской пожарной команды.
В Красную Армию призван в августе 1940 года. Служил в пограничных войсках Народного Комиссариата Внутренних дел (НКВД) на Дальнем Востоке.
На фронте в Великую Отечественную войну с февраля 1943 года. Участвовал в боях под Орлом, Севском, Новгород-Северским, Лоевым, Речицей.
Будучи телефонистом роты связи 43-го стрелкового полка (106-я стрелковая дивизия, 65-я армия, Центральный фронт) под ураганным огнем противника в составе передового отряда 15 октября 1943 года переправился через реку Днепр в районе поселка Лоев Лоевского района Гомельской области Белоруссии и, проложив через реку кабельную линию, установил связь передового отряда с главными силами 43-го стрелкового полка. При обрыве телефонной связи под вражеским обстрелом красноармеец Б.А. Пискунов нашел место обрыва и восстановил связь, и, не обращая внимания на тяжелое ранение осколком снаряда, продолжал нести боевое дежурство у аппарата. В течение нескольких суток отважный боец-телефонист бессменно обеспечивал связь десантников со штабом полка.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм красноармейцу Пискунову Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1524).
В 1945 Б.А. Пискунов окончил курсы усовершенствования офицерского состава, в 1946 году – Иркутское военное училище связи.
Проходил службу в Московском, Приволжском, Дальневосточном военных округах.
С 1960 года майор Пискунов - в запасе.
С 1960 жил в Иркутске. Работал в Кировском районном отделе внутренних дел, затем военруком в музыкальном училище.
Скончался 21 июня 2001 года. Похоронен в Иркутске на Александровском кладбище.
Награжден орденом Ленина, орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями. В 1996 году постановлением городской Думы Иркутска от 29 сентября 1996 года было принято решение о переименовании ул. 5-й Советской в улицу имени Героя Советского Союза Бориса Андреевича Пискунова. На стене дома, в котором жил Б.А. Пискунов, установлена мемориальная доска.