После окончания шести классов школы проживал и работал в Чите.
Занимался в аэроклубе.
В 1938 был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию.
В 1940 окончил Батайскую военную авиационную школу пилотов.
С июня 1941 — на фронтах Великой Отечественной войны. В боях был тяжело ранен.
К августу 1943 гвардии капитан Алексей Мурашев командовал эскадрильей 3-го гвардейского истребительного авиаполка 235-й истребительной авиадивизии 10-го истребительного авиакорпуса 2-й воздушной армии Воронежского фронта. К тому времени он совершил 328 боевых вылетов, принял участие в 69 воздушных боях, сбив 17 вражеских самолётов лично и ещё 9 — в составе группы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1943 за «мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецкими захватчиками» гвардии капитан Алексей Мурашев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 1242.
Войну гвардии майор Мурашев закончил в должности командира 181-го гвардейского истребительного авиационного полка 15-й гвардейской истребительной авиадивизии 10-го истребительного авиакорпуса.
В 1947 окончил курсы усовершенствования офицерского состава.
В 1972 в звании полковника Мурашев был уволен в запас.
Проживал и работал сначала в Североморске, затем в Днепропетровске.
Умер 16 июля 1999, похоронен на Сурско-Литовском кладбище Днепропетровска.
Был награждён двумя орденами Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, рядом медалей и иностранных наград.