После окончания начальной школы работал в колхозе.
В 1931—1935 и 1939—1940 служил в Рабоче-крестьянской Красной Армии. Участвовал в боях на Халхин-Голе и советско-финской войне.
В 1941 в третий раз был призван в армию.
С ноября 1942 — на фронтах Великой Отечественной войны.
К сентябрю 1943 года гвардии старший сержант Андрей Коньшаков командовал орудием 225-го гвардейского стрелкового полка 78-й гвардейской стрелковой дивизии 7-й гвардейской армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Днепр.
В ночь с 24 на 25 сентября 1943 года Коньшаков одним из первых переправился через Днепр в районе села Домоткань Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украинской ССР. В боях на плацдарме расчёт Коньшакова принял активное участие в отражении 4 контратак противника. Когда его орудие было выведено из строя, Коньшаков во главе группы бойцов продолжал сражаться с атакующим противником, успешно удержав занимаемые позиции.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии старший сержант Андрей Коньшаков был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 1358.
В 1945 году Коньшаков ускоренным курсом окончил Подольское артиллерийское училище. Участвовал в боях советско-японской войны.
В 1946 в звании младшего лейтенанта Коньшаков был уволен в запас. Вернулся на родину.
С 1955 со всей семьёй переехал в посёлок Падун (ныне — в черте Братска), на строительство Братской ГЭС. Работал плотником Падунского СМУ, рубил первые деревянные дома в Зеленом городке, сооружал бетоновозные эстакады, строил опалубку бетонных сооружений ГЭС.
Умер 24 июня 1982, похоронен в Падуне.
Был также награждён орденом Красного Знамени и рядом медалей.
В честь А.С.Коньшакова названа школа в его родном селе.