Родился в семье рабочего.
С 1936 жил в городе Усолье-Сибирском Иркутской области, где окончил 5 классов, затем ФЗО № 4 в Иркутске.
С 1941 работал слесарем на Петровск-Забайкальском заводе Читинской области.
С января 1943 в армии, призван Петровск-Забайкальским райвоенкоматом.
С мая 1943 участник Великой Отечественной войны.
Младший сержант, командир отделения 1230-го полка 370-й дивизии 6-й армии 1-го Белорусского фронта, 18 июля 1944 участвовал в прорыве обороны противника в районе урочища Волчище. Первым ворвался в траншеи, увлекая за собой товарищей. 20 июля первым вплавь форсировал Западный Буг и помог переправиться пятерым бойцам.
24 марта 1945 А.Д. Евстигнееву присвоено звание Героя Советского Союза.
В октябре 1945 по ранению демобилизовался.
Работал на предприятиях ст. Мегет Иркутской области и в Иркутске на заводе им. Куйбышева.