Родился в семье крестьянина.
В 1921 умерла его мать, в 1935 — отец, после чего до 1936 года Быковский воспитывался в детском доме имени Ворошилова в селе Липовка Энгельсского района. С 1936 проживал у дяди.
В 1939 окончил Петропавловский медицинский техникум. В том же году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию.
С 1941 года служил в составе 201-го отдельного пулемётного батальона 213-й стрелковой дивизии в городе Каттакургане Самаркандской области Узбекской ССР.
С 1943 — на фронтах Великой Отечественной войны. К сентябрю 1943 года гвардии лейтенант медслужбы Виктор Быковский командовал санитарным взводом 224-го гвардейского стрелкового полка 72-й гвардейской стрелковой дивизии 7-й гвардейской армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Днепр.
В ночь с 24 на 25 сентября 1943 года в составе группы Быковский переправился через Днепр в районе села Бородаевка Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украинской ССР. Во время боя за село, защищая раненых в медпункте батальона от атаковавших его немецких подразделений, получил тяжёлое ранение, но поля боя не покинул, продолжая обороняться. Действия Быковского позволили сохранить жизни находившимся в медпункте раненым.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии лейтенант медицинской службы Виктор Быковский был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 1440.
В конце 1943 года Быковский был выписан из госпиталя и вернулся на фронт. Принимал участие в освобождении Украины и Румынии, форсировании Буга, Прута, Днестра. В 1944 вступил в ВКП(б). В августе того же года он был направлен на учёбу.
В 1945 Быковский окончил курсы зубных врачей. После окончания войны работал стоматологом в различных военных лечебных учреждениях: в Кисловодске, Майкопе, на Камчатке, в Закавказском военном округе.
В 1956 в звании майора Быковский был уволен в запас.
В 1957–1963 работал протезистом в Ангарске и Иркутске, а с 1963 — в горбольнице № 2 Кишинёва.
Умер 31 июля 1973, похоронен в Кишинёве.
Был также награждён орденом Красной Звезды и рядом медалей.