Родился в крестьянской семье.
Получил начальное образование, окончил курсы трактористов, после чего работал механизатором в колхозе в селе Жлобино Аларского района.
В октябре 1940 был призван на службу в РККА.
С июня 1941 — на фронтах Великой Отечественной войны. К январю 1945 гвардии ефрейтор Егор Быков был наводчиком станкового пулемёта 39-го гвардейского стрелкового полка 13-й гвардейской стрелковой дивизии 5-й гвардейской армии 1-го Украинского фронта. Отличился во время освобождения Польши.
12 января 1945 в ходе прорыва вражеской обороны Быков выдвинулся вперёд и огнём своего пулемёта оказал помощь пехотным подразделениям в овладении тремя линиями траншей.
14 января Быков первым в своём подразделении переправился через реку Ниду в районе польского города Пиньчув и прикрывал переправу роты.
24 января на первой лодке Быков переправился через Одер в районе села Бризен в трёх километрах от города Бжег и за день принял участие в отражении шести вражеских контратак. В боях был ранен, но поля боя не покинул.
25 января Быков погиб в ходе отражения очередной немецкой контратаки.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 гвардии ефрейтор Егор Быков посмертно был удостоен звания Героя Советского Союза. Был награждён орденами Ленина и Отечественной войны 1-й степени, медалью.
Летом 1967 в селе Бахтай Аларского района был открыт памятник Герою Советского Союза Е.И. Быкову. Его именем названы восьмилетняя школа села Бахтай, улица посёлка Усть-Ордынского.