Родился в семье железнодорожника.
Окончил семилетнюю школу в г. Черемхово Иркутской области и горнопромышленном училище, работал электриком на шахте № 5.
В 1939 Черемховским райвоенкоматом призван в армию, служил на Дальнем Востоке.
Великую Отечественную войну встретил на Западной Украине, был ранен. Участник Керченско-Феодосийского десанта в 1941.
В 1942 окончил курсы «Выстрел».
Контуженым попал в плен и был вывезен на Украину. По пути бежал, организовал партизанский отряд и воевал в тылу врага.
С ноября 1943 вновь в рядах Советской армии. Командир роты автоматчиков 529-го полка 163-й дивизии 40-й армии 2-го Украинского фронта старший лейтенант А.Н. Богашев отличился при форсировании Буга. Сколотив плот, он с группой автоматчиков переправился на занятый фашистами берег и умелыми боевыми действиями обеспечил переправу подразделений полка. Был вновь ранен.
13 сентября 1944 присвоено Звание Героя Советского Союза.
После войны был директором мельницы в г. Черновцы, затем переехал в г. Бийск Алтайского края.
Награжден орденами Ленина, Отечественной войны I ст., медалями.