Родился в семье крестьянина.
Окончил сельскую школу.
В 1931 с семьей переехал в село Свербиево на Амуре, работал здесь столяром, с 1932 жил в городе Александровске Сахалинской области, откуда уехал в село Новая Курба Заиграевского района Бурятии, и стал работать слесарем в МТС.
С 1935 по 1942 год работает кочегаром производственной котельной, а затем кочегаром паровоза в депо города Слюдянка.
В ноябре 1943 был призван в армию. Воевал на Калининском, 1-м Прибалтийском фронтах рядовым разведчиком.
24 июня 1944 в составе 270-й Демидовской дивизии участвовал в форсировании Западной Двины. Перебравшись первым вплавь на противоположный берег во главе немногочисленной группы разведчиков, ворвался во вражескую траншею, штыком и гранатой уничтожил шесть гитлеровцев. Будучи раненым, продолжал рукопашную схватку.
Погиб смертью храбрых в бою с фашистскими захватчиками 26 июля 1944. Похоронен в братской могиле в числе 56 советских воинов в посёлке Улла.В 1965 над этим захоронением воздвигнут памятник.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» красноармеец Григорий Береснев посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. 31 мая 1950 жене Береснева Евгении Сергеевне и его дочери Нине Григорьевне была вручена Грамота о присвоении ему звания Героя.
Имя Береснева есть на Мемориале Славы в Барнауле. В городе Слюдянка Иркутской области имя Береснева носит микрорайон, где на одном из зданий установлена мемориальная доска; его имя занесено на мемориал слюдянцам, павшим на фронтах Великой Отечественной войны; в честьЕ.Берсенёва на здании локомотивного депо ст. Слюдянка установлена мемориальная доска.