Родился в семье извозчика.
После Октябрьской революции работал посыльным, затем подмастерьем в кузнице, рабочим в типографии «Свобода», потом в 15-й типографии Моссовета.
С 1927 по 1929 — в РККА, служил во 2-м стрелковом полку 1-й Московской Пролетарской дивизии.
После окончания полковой школы — помощник командира взвода и старшина курсов.
После увольнения в запас вновь работал в типографии.
В Красную Армию был вновь призван из запаса в 1935. Службу проходил в Забайкальском военном округе. Вначале был командиром стрелкового взвода 279-го стрелкового полка 93-й стрелковой дивизии, впоследствии стал командиром стрелковой роты, а с 1938 — военным комиссаром Тайшетского района Иркутской области.
В январе 1942 был направлен на офицерские курсы. По завершении учёбы, Андреев прибыл в Москву, где был назначен на должность командира батальона 967-го стрелкового полка 273-й стрелковой дивизии, после чего в её составе убыл на Сталинградский фронт. Первый бой с участием Андреева произошёл в июле 1942, во время этого боя он был ранен в ногу, после чего месяц лечился в госпитале. После выписки из госпиталя был назначен на должность командира батальона 1026-го стрелкового полка 260-й стрелковой дивизии. Принимал непосредственное участие в операции «Кольцо», за что получил первый орден Красного Знамени.
Осенью 1943 стал командиром 1028-го стрелкового полка.
Об истории совершения Андреевым и его подразделением подвига рассказывалось в очерке военного корреспондента Льва Исаевича Славина «Варшавское шоссе», который был опубликован в газете «Известия». В августе 1944 советские войска, в том числе и полк Андреева, вышел к берегу Вислы. Немецко-фашистские войска пошли в контратаку, в результате чего войска 1-го Белорусского фронта, которому было поставлено в задачу освобождение Варшавы, перешли к обороне и остановили наступление. Лишь 14 января 1945 года была начата Варшавско-Познанская операция. 16 января полк Андреева параллельно с отступающим врагом переправился на другой берег. Немцы приступили к строительству береговых укреплений с тем, чтобы помешать намеченному на следующий день форсированию реки советскими частями. Полк Андреева же незаметно ушёл вперед и окопался. Когда немцы заметили это, им пришлось сдаться в плен. Вскоре немецкие войска атаковали полк, но подоспевшие советские части отбили атаку, Андреев вместе со своим полком освобождал ряд других польских населённых пунктов, дорог, высот, конечным итогом чего явилось освобождение Варшавы.
В феврале 1945 принимал участие в захвате крупного химического предприятия, на котором работали угнанные на принудительные работы граждане разных государств, в том числе и СССР.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 апреля 1945 полковник Николай Трофимович Андреев был удостоен звания Героя Советского Союза.
Впоследствии Андреев принимал участие в Берлинской операции и его полк одним из первых встретился с американскими войсками на реке Эльба 26 апреля 1945.
После войны продолжил службу в рядах Советской Армии.
В 1953-1958 занимал пост военного комиссара Киргизской ССР.
В 1958 Андреев вышел в отставку, 27 сентября 1974 скончался. Похоронен в г. Фрунзе (ныне — Бишкек).