Родился в семье рабочего. По национальности русский.
Получив начальное образование в городе Бузулук (ныне Оренбургской области), работал прицепщиком на тракторе.
В Красной Армии с октября 1941. Прошёл обучение в Ульяновском танковом училище.
На фронтах Великой Отечественной войны с мая 1944 года. Командир тяжёлого танка 13-го гвардейского отдельного тяжёлого танкового Уманского полка 4-й гвардейской танковой армии 1-го Украинского фронта гвардии лейтенант Андреев особо отличился в январе 1945 года в боях на территории современной Польши. Экипаж танка с десантом автоматчиков с 22 по 27 января 1945 года уничтожил несколько десятков фашистов, БТР, захватил большое количество военных трофеев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство лейтенанту Андрееву Анатолию Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 7187).
После войны капитан Андреев в запасе.
Член ВКП(б) с 1951.
Жил и работал в городе Орске Оренбургской области (заместитель начальника цеха Орского машиностроительного завода).
Скончался 4 октября 1968.