Родился в семье кустаря в селе Нижняя Иреть (ныне Черемховский район).
Окончил начальную школу.
Работал на мельнице.
С 1930 года — в Красной Армии. Вступил в ряды ВКП(б) в 1932 году.
В 1933 году окончил Омское военное пехотное училище.
Участвовал в Советско-финской войне.
Окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе в 1940-м.
На фронте с 1941 года. Стоял во главе батальона 135-го стрелкового полка 14-й стрелковой дивизии 14-й армии Северного фронта, организовывая оборону Баренцева моря и границы сФинляндией (на полуострове Рыбачий).
С мая 1942 года Амвросов переброшен на Карельский фронт, сначала в качестве командира 28-го гвардейского стрелкового полка, а затем в качестве заместителя командира 10-й гвардейской стрелковой дивизии, расположившейся вдоль реки Западная Лица.
В марте 1944-го Амвросов назначается на пост командира 72-й морской стрелковой бригады 126-го лёгкого горнострелкового корпуса 14-й армии. Участвовал в Петсамо-Киркенесской наступательной операции, освобождении Петсамо (Печенга), в операциях на территории Северной Норвегии.
В феврале 1945 года корпус переходит в состав 38-й армии 4-го Украинского фронта и принимает участие в Моравско-Остравской наступательной операции. Бригада полковника Амвросова с боем занимает города Зорау (Жары) и Лослау (Водзислав-Слёнский). 29 марта 1945 года в бою у реки Одер Амвросов погиб от взрыва снаряда, находясь на своем наблюдательном пункте.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 мая 1945 года за умелое командование бригадой и проявленные при этом мужество и героизм полковнику Амвросову Ивану Прокопьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (посмертно).