Родился в семье крестьянина.
Окончил сельскую школу, работал в родном селе в колхозе им. Калинина, был секретарем Рындинского сельсовета.
В октябре 1938 года был призван в Красную армию. Окончил полковую школу и служил командиром орудия на Западной Украине. Здесь встретил начало Великой Отечественной войны.
С первого дня участвовал в боях с немецко-фашистскими захватчиками. 22 июня 1941 года в бою за село Брусно Львовской области ранен. После лечения вновь в действующей армии, воевал на Юго-Западном фронте. С осени 1942 года — в составе 1-й (с 1 марта 1943 года — 1-й гвардейской) артиллерийской дивизии Резерва Главного Командования. Участвовал в разгроме гитлеровцев под Сталинградом.
Командир орудия гвардии старший сержант Ахаев отличился в боях на Курской дуге. 9 июля 1943 года в районе села Соборовка (Кромский район Орловской области) его расчёт огнём прямой наводкой подбил несколько тяжёлых танков, чем содействовал отражению атаки противника.
Принимал участие в освобождении Орла, украинских городов Глухов, Бахмач,Конотоп. В сентябре 1943 года 200-й артиллерийский полк первым в дивизии приступил к форсированию Днепра севернее Киева. Гвардии старший сержант Ахаев с расчетом под огнем противника без потерь переправился на уже захваченный плацдарм и с ходу вступил в бой, поддерживая огнем пехоту. В боях на плацдарме только за один день, 4 октября, расчет Ахаева уничтожил несколько вражеских пулемётов, противотанковых орудий, автомашин с боеприпасами.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 октября 1943 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии старшему сержанту Филиппу Петровичу Ахаеву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 3229).
Через два месяца, в одном из декабрьских боев, герой-артиллерист был ранен. После излечения был направлен не на фронт, а в военное училище.
Летом 1945 года окончил Ивановское военно-политическое училище.
В августе 1945 года в составе 36-й армии Забайкальского фронта принимал участие в разгроме японских милитаристов.
С июля 1946 года лейтенант Ахаев — в запасе. Первое время жил и работал в Ростовской области.
В 1953 году переехал в Иркутскую область.
Работал мастером-арматурщиком Ангарскгэсстроя, командиром взвода взрывников Артемовского прииска на реке Лене, старателем на руднике Витимский Мамско-Чуйского района.
Умер 4 марта 1979 года. Похоронен в поселке Витимский Мамско-Чуйского района Иркутской области.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, медалями.