Константин Абрамов родился 25 декабря 1906 года на станции Иркутск-Сортировочный в семье рабочего.
По окончании 9 классов работал секретарём Назаровского райкома комсомола Красноярского края.
В ряды Красной армии был призван в сентябре 1928 года, служил красноармейцем 108-го стрелкового полка 36-й стрелковой дивизии ОКДВА. В 1929 году участвовал в боях на КВЖД. С ноября того же года Абрамов служил командиром взвода 108-го стрелкового полка 36-й стрелковой дивизии ОКДВА, с 1932 — командиром и военным комиссаром батальона связи, с апреля 1934 года — секретарём партийного бюро отдельного танкового батальона.
В 1938 году окончил Военно-политическую академию имени В. И. Ленина. С февраля 1938 года служил военным комиссаром 18-й танковой бригады, с июля 1938 — военным комиссаром 15-го танкового корпуса. В феврале 1939 года был назначен начальником политуправления Сибирского военного округа (Новосибирск).
С началом Великой Отечественной войны на базе округа была сформирована 24-я армия, в которой Константин Абрамов также стал начальником политуправления. В конце июня армия убыла на фронт.
В составе Резервного фронта 24-я армия под командованием генерал-майора К. И. Ракутина хорошо проявила себя в Смоленском сражении и сыграла решающую роль в Ельнинской наступательной операции, проходившей в сентябре 1941 года. Константин Абрамов проявил в этих боях свои личную отвагу и талант боевого политработника и пользовался большим уважением в войсках. Благодаря работе Абрамова армия имела высокую моральную и боевую устойчивость личного состава. В октябре 1941 года вместе с армией попал в Вяземский котёл, в боях в окружении был ранен. С группой бойцов сумел прорваться из окружения.
С декабря 1941 по январь 1942 года служил членом Военного Совета 24-й армии второго формирования, формировавшейся в Московском военном округе.
С июня 1942 года служил членом Военного Совета 64-й армии, которая отличилась во время Сталинградской битвы. С августа 1942 по февраль 1943 года вместе с командиром 64-й армии М. С. Шумиловым находился на передовой в Сталинграде.
6 декабря 1942 года присвоено воинское звание «генерал-майор».
С июня по август 1943 года служил членом Военного Совета 63-й армии, которая в то время принимала участие в Орловской наступательной операции.
С августа 1943 года до конца войны служил членом Военного Совета 6-й гвардейской армии, принимавшей участие в освобождении Левобережной Украины, в Невельской, Городокской, Белорусской, Прибалтийской операциях и в блокаде Курляндской группировки противника.
В Витебско-Оршанской и Полоцкой операциях генерал-майор Абрамов, находясь в передовых частях армии, обеспечивал быстроту их наступления в глубине обороны гитлеровцев: армия проходила от 20 до 40 километров в день. К исходу второго дня наступления передовые части армии в районе Витебска вышли к реке Западная Двина, под руководством генерал-майора Абрамова форсировали реку и закрепились на западном берегу. Эти действия позволили остальным армиям фронта замкнуть кольцо вокруг Витебской группировки гитлеровцев, уничтожив её всего за двое суток. Продолжив наступление, участвовал в прорыве укреплённого рубежа обороны группы армий «Центр» южнее Полоцка, а затем, в течение пяти дней, прошёл более ста километров, при этом нанося отступающему противнику большой урон.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за умелое руководство партийно-политической работой и личное мужество в период форсирования Западной Двины в июне 1944 года и прорыва обороны противника в районе города Полоцк гвардии генерал-майору Константину Кириковичу Абрамову присвоено звание Героя Советского Союза со вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С 1946 по 1949 годы Константин Абрамов учился в Высшей военной академии имени К. Е. Ворошилова, окончив которую, был переведён на командную работу.
С марта 1950 года командовал 6-м стрелковым корпусом в составе Северо-Кавказского военного округа.
Жил в Сталинграде, где дислоцировалось управление корпуса.
Трагически погиб (застрелился) 10 апреля 1952 года.